欠測値のある五段枝分かれ実験分散分析の分散と有効自由度

各変動要因（）の不偏分散の期待値は

であるから、不偏分散は次のような各変動要因の母分散の推定値の線型和

となります。ここで、各変動要因（）の不偏分散の自由度は

です。ただし、は全測定データの数です。

測定値１個当たりの分散は

だから

となります。そこで、これをさらに変形すると

となります。ここで

とおくと

のようになります。ここで

とおけば

となります。そこで、これをさらに変形すると

となります。ここで

とおけば

となります。そこで、これをさらに変形すると

となります。そこでもう一度とを

のように定義し直せば

となります。さらにこれを変形すると

となります。ここで

とおけば

となります。

　したがって、の有効自由度は

のサタスウエートの近似式より

となります。

　次に総平均値の分散は

となります。

　したがって、総平均値の分散の有効自由度は

のサタスウエートの近似式の特殊な場合に相当し

のように、有効自由度は厳密にに一致します。

　また、予測値（変動要因の水準数および測定の繰り返し数をそれぞれとする）の総平均値の分散は

であるから

となります。また

だから、ここで

とおけば

となります。そこで、

と置き換え、さらに変形すると

となるから、ここで

とおけば

となります。ここでもう一度とを

と定義し直せば

となります。そこで、

と置き直すと、

となります。そこで

と置き直せば、

となりますので、これをさらに変形すると

となります。そこで

と置き換えれば

　したがって、の有効自由度は

のサタスウエートの近似式より

となります。

さらに、各変動要因の母分散の推定値の有効自由度を求めてみましょう。

であるから

のサタスウエートの近似式の特殊なケースによって

のように有効自由度は厳密にに等しくなります。

分散成分については

であるから

のサタスウエートの近似式によって

となります。

であるから、分散成分は

となり、したがって分散成分の有効自由度は

のサタスウエートの近似式によって

となります。