座標間に相関のある重み付き回帰曲線の正規方程式で使用する重み関数の行列表現

M. Bremser, M. Hassenbarth, “Shall we consider covariances”, Accred. Qual. Assur., 3, 106 (1998)よれば、座標共に不確かさのある重み付き回帰分析（Deming法）において、座標間に相関がある場合の取り扱いはDeming法の正規方程式

の右辺に付加項

を加えた修正正規方程式

を回帰係数ベクトルについて解けばよいとされている。ここでは

と定義される重み関数行列であり、の分散・共分散行列と次式

で定義される感度係数から得られる行列です。感度行列の要素は、それぞれ

です。またベクトルは

の要素からなる一般的なJacobian行列です。したがって、座標間に相関がある場合には、分散・共分散行列のの非対角項はにはならず、これを考慮した重み関数行列について正規方程式を解くことになります。

また、正規方程式は重み付き偏差平方和すなわち

を最小にするものであるが、このの最小値は観測値の回帰曲線への当て嵌めの度合い（degree-of-fitness）を評価する指標としても用いられ、当て嵌めの度合いがよい場合は回帰残差平方和はその期待値すなわちに近い値となることが知られています。ここで、は観測点の全個数であり、は当て嵌め曲線（回帰曲線）のパラメータの数です。

そこで、回帰曲線が１次式（）である場合のM行列についてその要素を書き出せば次のようになります。

、観測方程式は

であり、正規方程式の係数行列の重み関数Mの偏微分項は

となるので、結局重み関数Mの行列表現は

となります。

の微分は解析的に得ることは困難ですが、の微分はの微分と次のような関係を持っています。

は相対的に簡単なモデル関数、例えば、線形、多項式などの場合は、解析的に計算できます。

すなわち、上記の行列の場合（１次式の場合）は

すなわち

したがって、座標間に相関のある重み付き回帰直線の正規方程式の右辺（参考を参照）の付加項（番目の回帰係数について）は

となります。ここで

とおきました。ただし、です。

計算の手順

１． すなわちを読み込みます。

２． 行列を計算します。

３． 行列の逆行列を求めて行列にセーブします。

４． を計算し、行列（正規方程式の左辺の偏微分係数行列、ベクトルの要素は最確値である回帰係数の近似値の残差です）に代入します。

５． を行列（正規方程式の右辺）に代入します。

６． 行列を計算します。

７． 変化量などの計算します。

８． 最初（２の段階）に戻ります。

行列の計算法

１． の微分行列を得ます。配列は３次元（は回帰係数パラメータ）だからを求めます。

　　　　

２　を計算します。

３　を計算します。

４　行列項を修正します。

（参考）相関を考慮しない一般的な重み付き回帰直線の正規方程式は

です。ただし

で、は回帰係数の近似値です。または個の標本データのうちの番目の観測値です。