χ2分布

χ²（カイ２乗）分布

　いま赤い玉と白い玉が同数ずつたくさん入った箱をよくかき混ぜてから目隠しをして20個の玉を取ったとします。目隠しをはずし取り出した玉の数を数えたところ、赤玉が12個、白玉が8個でした。確率の教えるところによれば、箱の中の玉の種類は同数だから、ランダムに取り出される玉の種類の数は同数、すなわち、赤玉10個、白玉10個になるはずで、これが確率論的期待値です。

しかしながら、現実に取り出された玉の数（実現値）はこの期待値とずれています。そこで、このような理想と現実のずれを測る尺度として、次のような「食い違いの測度」を定義することにします。

　この例では箱の中の玉は赤と白の２種類だからn=2になり、実現値₁は赤玉の12、実現値_２は白玉の8で、期待値_１は赤玉の10、期待値_２は白玉の10です。したがって、食い違いの測度は今回の実験では

となります。同じような実験をまた繰り返したところ、今度は赤玉が9個、白玉が11個になりました。したがって

となります。さらに、実験を繰り返したところ、今度は赤玉と白玉の数が期待値と同じ10個ずつになりました。この時の食い違いの測度を計算してみると

のように食い違いの測度が0になり、確かに食い違いがないことがわかります。

　さらに、めったに起こりそうにない例（赤玉20個と白玉0個、あるいはその逆）について、食い違いの測度を計算してみると

となり、起こりそうもない事象が起きる場合には食い違いの測度は0よりだんだん大きくなるが、この場合は20を超えることはありません。しかしながら、玉を箱からもっとたくさん取り出すような場合には食い違いの測度の上限はさらに大きくなり、極限では∞までの値を取り得ます。

　このような赤玉と白玉を箱からランダムに取り出す実験を無限回繰り返し、その食い違いの測度を横軸に、またその測度に相当する事象が起きた回数（度数）の相対値（確率密度）を縦軸にプロットすると、次図のような曲線が得られます。

　この曲線のことをχ²（カイ２乗）分布曲線と言い、期待値からのずれの度合いを判定するのに用いられます。上図で赤く示した範囲は対象となるある事象の出現確率が５％以下である範囲を示し、χ²=3.841以上の食い違いの測度が観測されたときは５％以下というめったに起こらない事象が何らかの理由で起こったと言うことになります。

玉の種類がもう一種増えた場合についてもχ²分布曲線を描くことができますが、その時の自由度φは、玉の種類がn=3ですから、φ=n－1=3－1＝2となり、またχ²の５％境界値は5.991となります。当然のことですが自由度2のχ²分布曲線は上図の自由度１のχ²分布曲線とは形が異なります。もちろん、自由度がさらに増えたχ²分布曲線も描くことができます。

　先ほどの例では赤玉と白玉の数は同数でしたが、箱の中の玉の種類の数の割合が異なっていても、また取り出す玉の数が違っていても、自由度が１である限り上図と同じχ²分布曲線となりますから、χ²分布曲線は確率統計学の上で汎用性のある重要な曲線となっています。

　自由度φのχ²分布の確率密度関数は理論的にはΓ（ガンマ）関数

を使った次式で表されます。

Γ（ガンマ）関数には次のような性質があります。

１）

２）

３）

４）

５）

　この確率密度関数をに対してプロットしたものが前掲した分布曲線（の場合）です。また、自由度が1から10まで変化した場合の分布曲線は下図のようになり、自由度が大きくなると分布は正規分布に近づきます。

　がある値より大きくなる確率は、理論的に次式で与えられます。

　分布が統計学上重要な分布であることは、正規母集団（母平均μ、母分散σ²）の確率密度関数と比べて見るとよくわかります。すなわち、正規分布についてはは

のような確率密度関数になっており、の分布の確率密度関数

において、とおけば、両関数の骨格はほとんど一致することが理解できると思います。

　また、分布については次のような重要な性質が知られています。

１）分布の期待値と分散および標準偏差は次式で与えられます。

２）分布には加成性がある、すなわち、一般にがそれぞれ自由度の互いに独立な分布に従うときは

は自由度の分布に従います。

　上記の性質を一般の正規分布Ｎ（μ，σ²）に拡張することができます。すなわち、いまがそれぞれ独立な正規分布N（μ，σ²）に従うとすれば、

は自由度の分布に従います。

　上式の右辺の各項は、確率変数を母平均と母標準偏差で規格化した、いわゆるｚ－スコア

を２乗したものであるから、上式は

と簡略化され、は標準正規分布の母集団からランダムに抽出した大きさの標本の規格化確率変数の平方和と表現することもできます。

　一方、上式でμをで置き換えた場合も分布に従います。すなわち正規母集団からランダムサンプリングした個のデータの平方和（偏差２乗和）を母分散（）で割ったものは、自由度の分布に従います。したがって

となります。

　不偏分散（）の定義式を考慮すれば、正規母集団からランダムサンプリングした個のデータから求めた不偏分散を倍したものは、自由度の分布に従います。すなわち、

となります。

　このように、分布は平方和や不偏分散と密接な関係があるため、母分散の推定や検定に利用されます。

３）自由度の分布に従う個の確率変数からなるに関して、の時は

が近似的に標準正規分布に従うことが知られており、Fisherの近似式と呼ばれています。

　この近似式を利用すれば、分布のパーセント点（危険率における有意水準点）を与える表には、その値が通常自由度が100までしか与えられていないが、自由度の場合は、標準正規分布表から必要とする危険率に対応する有意水準点を読みとり、上式を変形した次式

に、その有意水準点の値と自由度を代入することにより、危険率における自由度の有意水準点を求めることが可能となります。

（例題１）ここで、分布を利用した統計推理をしてみることにします。いまあるコーヒー喫茶店にコーヒーを飲みにやって来るお客さんの人数は１日に平均16人であることがわかっている場合、32人以上のお客さんがこの店にやって来る日数は１ヶ月のうちに何日あるかを推定してみて下さい。また、１日に8人以下しかお客さんが来ない日数は１ヶ月のうち何日あるでしょうか。